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第九屆培正數學邀請賽決賽題目
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我參加培正數學入咗決賽，入面有一題我到ｅ家都未計到：題目：20. 在課室裡，老師對五名學生小陳、小李、小張、小王和小何說：「我寫下了一個五位數N，它由五個不同的數字組成。我會讓小陳看N... 顯示更多 我參加培正數學入咗決賽，入面有一題我到ｅ家都未計到： 題目： 20. 在課室裡，老師對五名學生小陳、小李、小張、小王和小何說：「我寫下了一個五位數 N，它由五個不同的數字組成。我會讓小陳看N 的萬位和千位，讓小李看千位和百位， 讓小張看百位和十位，讓小王看十位和個位，並讓小何看個位和萬位。」之後老師如所 述般讓每名學生知道N的兩個數字，然後各人圍圈而坐，展開了以下的對話。 老師說：「知道N的一個質因數的請舉手」，之後有兩名學生舉手。 老師再問：「知道N的一個質因數的請舉手」，這次有三名學生舉手。 老師說：「知道N的一個合成數因數的請舉手」，之後有兩名學生舉手。 老師又說：「知道N的兩個合成數因數的請舉手」，但沒有學生舉手。 之後老師問：「誰知道N的值？」 其中一名學生說：「我知道，N是59的倍數呢。」 假設所有學生都是聰明的（即有足夠資料便能作出推論），求N。 我要呢一題嘅題解，我要解釋 ，答案我知道！ 求高人解。 更新: 我唸到嘅係：老師說：「知道N的一個質因數的請舉手」，之後有兩名學生舉手。表示：個位值必然為０／５／２的倍數。（因為舉手的兩名學生必然為小王和小何，他們看到個位數為？，因而知道「質因數」）↑此數若為２的倍數，小王和小何知道質因數為「２」此數若為５，小王和小何知道質因數為「５」此數數為０，小王和小何知道質因數為「２」和「５」，並推斷出合成數「１０」因此：其中一名學生說：「我知道，N是59的倍數呢。」代表：此數（Ｎ）為１０８或２９５的倍數大家加油，我要諗多ｄ。 顯示更多 我唸到嘅係： 老師說：「知道N的一個質因數的請舉手」，之後有兩名學生舉手。 表示：個位值必然為０／５／２的倍數。 （因為舉手的兩名學生必然為小王和小何，他們看到個位數為？，因而知道「質因數」） ↑ 此數若為２的倍數，小王和小何知道質因數為「２」 此數若為５，小王和小何知道質因數為「５」 此數數為０，小王和小何知道質因數為「２」和「５」，並推斷出合成數「１０」 因此：其中一名學生說：「我知道，N是59的倍數呢。」 代表：此數（Ｎ）為１０８或２９５的倍數 大家加油，我要諗多ｄ。 更新 2: 此數（Ｎ）為１１８（非１０８）或２９５的倍數 更新 3: 原來我睇漏咗「五個不同的數字組成」……
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是否這樣? 老師說：「知道N的一個質因數的請舉手」，之後有兩名學生舉手。 老師再問：「知道N的(兩)個質因數的請舉手」，這次有三名學生舉手。 尾數是0。
第九屆培正數學邀請賽決賽題目
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我參加培正數學入咗決賽，入面有一題我到ｅ家都未計到：題目：20. 在課室裡，老師對五名學生小陳、小李、小張、小王和小何說：「我寫下了一個五位數N，它由五個不同的數字組成。我會讓小陳看N... 顯示更多 我參加培正數學入咗決賽，入面有一題我到ｅ家都未計到： 題目： 20. 在課室裡，老師對五名學生小陳、小李、小張、小王和小何說：「我寫下了一個五位數 N，它由五個不同的數字組成。我會讓小陳看N 的萬位和千位，讓小李看千位和百位， 讓小張看百位和十位，讓小王看十位和個位，並讓小何看個位和萬位。」之後老師如所 述般讓每名學生知道N的兩個數字，然後各人圍圈而坐，展開了以下的對話。 老師說：「知道N的一個質因數的請舉手」，之後有兩名學生舉手。 老師再問：「知道N的一個質因數的請舉手」，這次有三名學生舉手。 老師說：「知道N的一個合成數因數的請舉手」，之後有兩名學生舉手。 老師又說：「知道N的兩個合成數因數的請舉手」，但沒有學生舉手。 之後老師問：「誰知道N的值？」 其中一名學生說：「我知道，N是59的倍數呢。」 假設所有學生都是聰明的（即有足夠資料便能作出推論），求N。 我要呢一題嘅題解，我要解釋 ，答案我知道！ 求高人解。 更新: 我唸到嘅係：老師說：「知道N的一個質因數的請舉手」，之後有兩名學生舉手。表示：個位值必然為０／５／２的倍數。（因為舉手的兩名學生必然為小王和小何，他們看到個位數為？，因而知道「質因數」）↑此數若為２的倍數，小王和小何知道質因數為「２」此數若為５，小王和小何知道質因數為「５」此數數為０，小王和小何知道質因數為「２」和「５」，並推斷出合成數「１０」因此：其中一名學生說：「我知道，N是59的倍數呢。」代表：此數（Ｎ）為１０８或２９５的倍數大家加油，我要諗多ｄ。 顯示更多 我唸到嘅係： 老師說：「知道N的一個質因數的請舉手」，之後有兩名學生舉手。 表示：個位值必然為０／５／２的倍數。 （因為舉手的兩名學生必然為小王和小何，他們看到個位數為？，因而知道「質因數」） ↑ 此數若為２的倍數，小王和小何知道質因數為「２」 此數若為５，小王和小何知道質因數為「５」 此數數為０，小王和小何知道質因數為「２」和「５」，並推斷出合成數「１０」 因此：其中一名學生說：「我知道，N是59的倍數呢。」 代表：此數（Ｎ）為１０８或２９５的倍數 大家加油，我要諗多ｄ。 更新 2: 此數（Ｎ）為１１８（非１０８）或２９５的倍數 更新 3: 原來我睇漏咗「五個不同的數字組成」……
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設N為 abcde : 老師說：「知道N的一個質因數的請舉手」，之後有兩名學生舉手。 N為abcd0 , abcd2 , abcd4 , abcd6 , abcd8 或 abcd5。 舉手的是小王和小何。 老師再問：「知道N的一個質因數的請舉手」，這次有三名學生舉手。 多了一名學生舉手,因該名學生知有5 , 從而知該數為abcd0 , abcd2 , abcd4 , abcd6 或 abcd8 , 推出N必有質因數 2。 而且該名學生必是知道 ab 中 a=5 的小陳,否則不只多一人舉手。 該數為5bcd0 , 5bcd2 , 5bcd4 , 5bcd6 或 5bcd8 老師說：「知道N的一個合成數因數的請舉手」，之後有兩名學生舉手。 該兩名學生其一是知道十、個位的小王 , 因小王知末兩位數可被4整除, 推出N有合因子4 ; 另一位是知道百、十位的小張,他所知的必為 26 或 62 , 才可推出無論末位是 0 , 4 或 8 , 則 60 , 64 , 68 或 20 , 24 , 28 皆可被4整除, 因此小張也推出N有合因子4。 至此所有學生都知N為5b260 , 5b264 , 5b268 , 5b620 , 5b624 或 5b628。 老師又說：「知道N的兩個合成數因數的請舉手」，但沒有學生舉手。 之後老師問：「誰知道N的值？」 其中一名學生說：「我知道，N是59的倍數呢。」 該名學生必是知道 b26 或 b62 的小李, 他心知N不會是5b264 或 5b624 , 否則小王知末三位為 264 或 624 可被8整除,從而知N還有合因子 8 理應舉手。 於是小李知N是 5b260 , 5b268 , 5b620 或 5b628 ; 事實上小李知b值 , 能憑借 b 值排除末位e是0 或 8 , 從而得知原數。 他可能已知N是 : 54260 , 58260 , 50268 , 54268 , 54620 , 58620 , 50628 , 54628 , 當中只有 50268 = 2 x 2 x 3 x 59 x 71 是59的倍數。 N = 50268 2010-06-21 20:44:55 補充： 他可能已知N是 : 58260 , 50268 , 58620 , 50628 。 (Sorry 沒有54260 , 54268 , 54620 , 54628 的,否則還不能排除末位e是0 或 8)其他解答:
是否這樣? 老師說：「知道N的一個質因數的請舉手」，之後有兩名學生舉手。 老師再問：「知道N的(兩)個質因數的請舉手」，這次有三名學生舉手。 尾數是0。
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