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1. 已知 a , b 為正整數，a > b ， 1/a + 1/b = 1/2001 ，滿足要求的 ( a , b ) 一共有多少對？ 2. 實數 a , b , c 滿足 x + y + z = 5 ， xy + yz + zx = 3，則 x 的最大值是？
最佳解答:
1. 已知 a , b 為正整數，a > b ， 1/a + 1/b = 1/2001 ，滿足要求的 ( a , b ) 一共有多少對？ 1/a + 1/b = 1/2001 2001b+2001a=ab 2001a-ab+2001b=0 a(2001-b)+2001b=0 a(2001-b)-2001(0-b)=0 a(2001-b)-2001(2001-b)=-2001^2 (a-2001)(2001-b)=-2001^2 (2001-a)(2001-b)=2001^2 (a-2001)(b-2001)=3^2*23^2*29^2 so 2001^2=4004001 (2+1)*(2+1)*(2+1)=27 共有27個正因數 a>b>0 so a<>b 共有 (27-1)/2=13對 2. 實數 a , b , c 滿足 x + y + z = 5 ， xy + yz + zx = 3，則 x 的最大值是？ sol z=5-x-y xy+y(5-x-y)+x(5-x-y)=3 xy+5y-xy-y^2+5x-x^2-xy=3 5y-y^2+5x-x^2-xy-3=0 -5y+y^2-5x+x^2+xy+3=0 y^2+y(-5+x)+(x^2-5x+3)=0 D=(-5+x)^2-4*1*(x^2-5x+3)>=0 x^2-10x+25-4x^2+20x-12>=0 -3x^2+10x+13>=0 3x^2-10x-13<=0 (3x-13)(x+1)<=0 (x-13/3)(x+1)<=0 13/3>=x>=-1
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1. 已知 a , b 為正整數，a > b ， 1/a + 1/b = 1/2001 ，滿足要求的 ( a , b ) 一共有多少對？ 2. 實數 a , b , c 滿足 x + y + z = 5 ， xy + yz + zx = 3，則 x 的最大值是？
最佳解答:
1. 已知 a , b 為正整數，a > b ， 1/a + 1/b = 1/2001 ，滿足要求的 ( a , b ) 一共有多少對？ 1/a + 1/b = 1/2001 2001b+2001a=ab 2001a-ab+2001b=0 a(2001-b)+2001b=0 a(2001-b)-2001(0-b)=0 a(2001-b)-2001(2001-b)=-2001^2 (a-2001)(2001-b)=-2001^2 (2001-a)(2001-b)=2001^2 (a-2001)(b-2001)=3^2*23^2*29^2 so 2001^2=4004001 (2+1)*(2+1)*(2+1)=27 共有27個正因數 a>b>0 so a<>b 共有 (27-1)/2=13對 2. 實數 a , b , c 滿足 x + y + z = 5 ， xy + yz + zx = 3，則 x 的最大值是？ sol z=5-x-y xy+y(5-x-y)+x(5-x-y)=3 xy+5y-xy-y^2+5x-x^2-xy=3 5y-y^2+5x-x^2-xy-3=0 -5y+y^2-5x+x^2+xy+3=0 y^2+y(-5+x)+(x^2-5x+3)=0 D=(-5+x)^2-4*1*(x^2-5x+3)>=0 x^2-10x+25-4x^2+20x-12>=0 -3x^2+10x+13>=0 3x^2-10x-13<=0 (3x-13)(x+1)<=0 (x-13/3)(x+1)<=0 13/3>=x>=-1
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