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F.4 M2數 急(20點)
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1.設x為一個四位數,而y是一個把x的數字反向排列而得出的四位數.. .證明x+y可被11整除 Sol x=abcd= 1000a +100b+ 10c +d y=dcba=1000d+ 100c +10b+a x+y= 1001a +110b+ 110c + 1001a =11( 91a +10b+ 10c +91d) So 11|(x+y) 2.設a和b為兩個正實數...證明a+b=2(ab開根) 當且僅當a=b Sol a+b=2sqrt(ab) a－2sqrt(ab)+b=0 (sqrt(a)－sqrt(b))^2=0 sqrt(a)=sqrt(b) a=b 3.設a，b和c為實數....證明ax+bx+c=0的兩根是互為倒數當且僅當a=c Sol 設兩根為p，q，a<>0 pq=c/a p*(1/p)=1=c/a a=c 4.若x^5為奇數,利用反證法證明x是奇數 Sol 設x為偶數 =>x^5為偶數與x^5為奇數矛盾 So 若x^5為奇數=>x是奇數 5.若一個三位數的各個數字的總和可被9整除,證明該三位數亦可被9整除 Sol 設此三位數為xyz 9|(x+y+z) 存在正整數p使得x+y+z=9p xyz=100x+10y+z=x+y+z+99x+9y=9p+9(11x+y) So 9|xyz 6.若a是一個奇數,證明a^2+(a+2)^2+(a+4)^2+1可被12整除 Sol 存在正整數p使得a=2p+ 1 a ^2+(a+2)^2+(a+4)^2+1 =(2p+1)^2+(2p+3)^2+(2p+5)^2+1 =(4p^2+4p+1)+(4p^2+12p+9)+(4p^2+20p+25)+1 =12p^2+36p+36 =12(p^2+3p+3) So 12| [a^2+(a+2)^2+(a+4)^2+1] 7.證明方程8x－12y=14沒有x和y的整數解 Sol 8x－12y=14 4x－6y=7 若x，y 為整數 =>4x，6y為偶數 So 4x－6y=7沒有x和y的整數解 8.證明方程x^2－2y^2=0沒有x和y的整數解 Sol x^2－2y^2=0 x^2=2y^2 x=sqrt(2)y or x=－sqrt(2) So沒有x和y的整數解
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1.設x為一個四位數,而y是一個把x的數字反向排列而得出的四位數...證明x+y可被11整除 2.設a和b為兩個正實數...證明 a+b=2(ab開根) 當且僅當a=b 3.設a,b和c為實數....證明ax2+bx+c=0的兩根是互為倒數當且僅當a=c 4.若x五次 為奇數,利用反證法證明x是奇數 5.若一個三合數的各個數字的總和可被9整除,證明該三位數亦可被9整除 6.若a是一個奇數,證明a2+(a+2)2+(a+4)2+1可被12整除 7.證明方程8x-12y=14沒有c和y的整數解 8.證明方程x2-2y2=0沒有x和y的整數解最佳解答:
1.設x為一個四位數,而y是一個把x的數字反向排列而得出的四位數.. .證明x+y可被11整除 Sol x=abcd= 1000a +100b+ 10c +d y=dcba=1000d+ 100c +10b+a x+y= 1001a +110b+ 110c + 1001a =11( 91a +10b+ 10c +91d) So 11|(x+y) 2.設a和b為兩個正實數...證明a+b=2(ab開根) 當且僅當a=b Sol a+b=2sqrt(ab) a－2sqrt(ab)+b=0 (sqrt(a)－sqrt(b))^2=0 sqrt(a)=sqrt(b) a=b 3.設a，b和c為實數....證明ax+bx+c=0的兩根是互為倒數當且僅當a=c Sol 設兩根為p，q，a<>0 pq=c/a p*(1/p)=1=c/a a=c 4.若x^5為奇數,利用反證法證明x是奇數 Sol 設x為偶數 =>x^5為偶數與x^5為奇數矛盾 So 若x^5為奇數=>x是奇數 5.若一個三位數的各個數字的總和可被9整除,證明該三位數亦可被9整除 Sol 設此三位數為xyz 9|(x+y+z) 存在正整數p使得x+y+z=9p xyz=100x+10y+z=x+y+z+99x+9y=9p+9(11x+y) So 9|xyz 6.若a是一個奇數,證明a^2+(a+2)^2+(a+4)^2+1可被12整除 Sol 存在正整數p使得a=2p+ 1 a ^2+(a+2)^2+(a+4)^2+1 =(2p+1)^2+(2p+3)^2+(2p+5)^2+1 =(4p^2+4p+1)+(4p^2+12p+9)+(4p^2+20p+25)+1 =12p^2+36p+36 =12(p^2+3p+3) So 12| [a^2+(a+2)^2+(a+4)^2+1] 7.證明方程8x－12y=14沒有x和y的整數解 Sol 8x－12y=14 4x－6y=7 若x，y 為整數 =>4x，6y為偶數 So 4x－6y=7沒有x和y的整數解 8.證明方程x^2－2y^2=0沒有x和y的整數解 Sol x^2－2y^2=0 x^2=2y^2 x=sqrt(2)y or x=－sqrt(2) So沒有x和y的整數解
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