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標題:
試證明下列題目
發問:
((1) 495 限制：三位數，三個數字不全相同 規則：數字排列，最大減最小，最後回到495 Ex：423→432-234=198→ 981-189=792 → 972-279=673 →763-367=594→954-459=495 WHY? (2) 1089 限制：任意三位數，百位數字≠個位數字 規則：倒過相減，再倒過來相加，最後回到1089 WHY? (3) 6174限制：任意四位數，四個數字不完全相同 規則：數字排列，最大減最小，最後回到6174 WHY?
最佳解答:
(1) 限制：三位數，三個數字不全相同 規則：數字排列，最大減最小，最後回到495 [證明] 給定一三位數，各位數字由三相異整數a,b,c組成。 不妨令a > b > c，則最大排列-最小排列=[100a+10b+c]-[100c+10b+a]=99(a-c) 因為a和c至少差2，最多差9，即a-c=2, 3, ... , 9 所以一次化簡後，只會有8種可能結果：99*2, 99*3, ... , 99*9 不管是哪一種，在不斷化簡後，皆會得到495這個數字 例如 99*3=279 → 972-279=99*(9-2)=99*7 99*7=693 → 963-369=99*(9-3)=99*6 99*6=594 → 954-459=99*(9-4)=99*5=495 其他情形類似 故得證 (2) (題目有誤，稍作修正) 限制：任意三位數，百位數字和個位數字相減>1 規則：倒過來相減，再倒過來相加，最後回到1089 [證明] 給定一三位數，十位數=b，百位數和個位數由a,c組合且a-c>1。 不妨令a>c 倒過相減，得 (100a+10b+c)-(100c+10b+a)=99(a-c) a-c=2, 3, ... , 9 => 99(a-c)=198, 297, 396, 495, 594, 693, 792, 891 倒過來相加，皆會得到1089，故得證 P.S.: 若不修改，倒過來相減得201-102=99，倒過來相加得99+99=198，不合 (3) 限制：任意四位數，四個數字不完全相同 規則：數字排列，最大減最小，最後回到6174 [證明] 給定一四位數，各位數字由四相異整數a,b,c,d組成。 不妨令a > b > c > d，則 最大排列-最小排列=[1000a+100b+10c+d]-[1000d+100c+10b+a] =999a+90b-90c-999d=999(a-d)+90(b-c) (a-d,b-c)=(3,1),(4,1~2),(5,1~3),(6,1~4),(7,1~5),(8,1~6),(9,1~7)共28組 (註：(7,1~5)表示a-b=7時，b-c可以是1,2,3,4,5 ) 將28組一一檢驗後皆可得6174，故得證 2009-09-15 21:09:16 補充： (3)的證明，最後的28組實際上並未一一代入檢驗 不過結果不像(1)來的直觀 我再想看看有沒有更好的解法 2009-09-15 23:50:20 補充： 感謝 克勞棣愛養鴨王子李子達 大大的意見. 第3題題目說的是『四個數字不完全相同』。那樣題目會有問題。 如：2111-1112=999不會是6174
1. 設a >= b >=c，但排除掉a=c的情況(易推得若a=c，則a=b=c) 則最大為abc，最小為cba，第一次相減為abc-cba=99(a-c)， a-c=1 ,2 ,3,...9，所以只要檢驗99, 198, 297....891這9個數即可。 2. 這個敘述有瑕疵，倒過來相減應該要"大減小"，不然會變負1089。 類似上題，但不須限定a,b,c的相對大小， 相減為abc-cba=99(a-c) a-c=1 ,2 ,3,....9，所以只要檢驗 99+990=1089 198+891=1089 297+792=1089 ..,.. 891+198=1089這9個數即可。 2009-09-15 22:37:01 補充： 第二題本來有規定相減以後如果是兩位數， (不會算的人自然不知道這個兩位數必然是99)，百位數要先補0， 再顛倒，再相加， 所以099+990=1089，所以百位數與個位數即使差1，還是不例外。 2009-09-15 22:48:00 補充： 3. 設a >= b >=c >=d， 但a不等於d(因為易推得若a=d，則a=b=c=d)，b可以等於c， 則最大為abcd，最小為dcba，第一次相減為abcd-dcba=999(a-d)+90(b-c) a-d=1 ,2 ,3,...9，b-c=0, 1, 2, 3......9， 這要窮舉就比較麻煩點....... 2009-09-15 22:51:46 補充： 我思大： 題目是說數字"不 完全相同"呢！ 211與112，百位數與個位數至少差2嗎？ 3222與2223，千位數與個位數至少差3嗎？百位數與十位數至少差1嗎？ 2009-09-16 02:02:12 補充： 2111-1112=999不會是6174 怎麼不會是呢？ 2111-1112=0999 9990-0999=8991 9981-1899=8082 8820-0288=8532 8532-2358=6174 第一與第三個遊戲都只有規定數字"不完全相同"，並沒有說"兩兩相異"， 而事實上它們的確成立，這遊戲已經很古老了....... 題目是能成立，只是版主沒把"補零"的規則寫出來而已。 2009-09-16 02:02:31 補充： 若不"補零"，就算一開始數字兩兩相異，也可能遊戲被迫中斷， 一樣不會成立，您有考慮過這點嗎？ 8421-1248=7173 7731-1377=6354 6543-3456=3087 8730-????
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((1) 495 限制：三位數，三個數字不全相同 規則：數字排列，最大減最小，最後回到495 Ex：423→432-234=198→ 981-189=792 → 972-279=673 →763-367=594→954-459=495 WHY? (2) 1089 限制：任意三位數，百位數字≠個位數字 規則：倒過相減，再倒過來相加，最後回到1089 WHY? (3) 6174限制：任意四位數，四個數字不完全相同 規則：數字排列，最大減最小，最後回到6174 WHY?
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(1) 限制：三位數，三個數字不全相同 規則：數字排列，最大減最小，最後回到495 [證明] 給定一三位數，各位數字由三相異整數a,b,c組成。 不妨令a > b > c，則最大排列-最小排列=[100a+10b+c]-[100c+10b+a]=99(a-c) 因為a和c至少差2，最多差9，即a-c=2, 3, ... , 9 所以一次化簡後，只會有8種可能結果：99*2, 99*3, ... , 99*9 不管是哪一種，在不斷化簡後，皆會得到495這個數字 例如 99*3=279 → 972-279=99*(9-2)=99*7 99*7=693 → 963-369=99*(9-3)=99*6 99*6=594 → 954-459=99*(9-4)=99*5=495 其他情形類似 故得證 (2) (題目有誤，稍作修正) 限制：任意三位數，百位數字和個位數字相減>1 規則：倒過來相減，再倒過來相加，最後回到1089 [證明] 給定一三位數，十位數=b，百位數和個位數由a,c組合且a-c>1。 不妨令a>c 倒過相減，得 (100a+10b+c)-(100c+10b+a)=99(a-c) a-c=2, 3, ... , 9 => 99(a-c)=198, 297, 396, 495, 594, 693, 792, 891 倒過來相加，皆會得到1089，故得證 P.S.: 若不修改，倒過來相減得201-102=99，倒過來相加得99+99=198，不合 (3) 限制：任意四位數，四個數字不完全相同 規則：數字排列，最大減最小，最後回到6174 [證明] 給定一四位數，各位數字由四相異整數a,b,c,d組成。 不妨令a > b > c > d，則 最大排列-最小排列=[1000a+100b+10c+d]-[1000d+100c+10b+a] =999a+90b-90c-999d=999(a-d)+90(b-c) (a-d,b-c)=(3,1),(4,1~2),(5,1~3),(6,1~4),(7,1~5),(8,1~6),(9,1~7)共28組 (註：(7,1~5)表示a-b=7時，b-c可以是1,2,3,4,5 ) 將28組一一檢驗後皆可得6174，故得證 2009-09-15 21:09:16 補充： (3)的證明，最後的28組實際上並未一一代入檢驗 不過結果不像(1)來的直觀 我再想看看有沒有更好的解法 2009-09-15 23:50:20 補充： 感謝 克勞棣愛養鴨王子李子達 大大的意見. 第3題題目說的是『四個數字不完全相同』。那樣題目會有問題。 如：2111-1112=999不會是6174
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其他解答:1. 設a >= b >=c，但排除掉a=c的情況(易推得若a=c，則a=b=c) 則最大為abc，最小為cba，第一次相減為abc-cba=99(a-c)， a-c=1 ,2 ,3,...9，所以只要檢驗99, 198, 297....891這9個數即可。 2. 這個敘述有瑕疵，倒過來相減應該要"大減小"，不然會變負1089。 類似上題，但不須限定a,b,c的相對大小， 相減為abc-cba=99(a-c) a-c=1 ,2 ,3,....9，所以只要檢驗 99+990=1089 198+891=1089 297+792=1089 ..,.. 891+198=1089這9個數即可。 2009-09-15 22:37:01 補充： 第二題本來有規定相減以後如果是兩位數， (不會算的人自然不知道這個兩位數必然是99)，百位數要先補0， 再顛倒，再相加， 所以099+990=1089，所以百位數與個位數即使差1，還是不例外。 2009-09-15 22:48:00 補充： 3. 設a >= b >=c >=d， 但a不等於d(因為易推得若a=d，則a=b=c=d)，b可以等於c， 則最大為abcd，最小為dcba，第一次相減為abcd-dcba=999(a-d)+90(b-c) a-d=1 ,2 ,3,...9，b-c=0, 1, 2, 3......9， 這要窮舉就比較麻煩點....... 2009-09-15 22:51:46 補充： 我思大： 題目是說數字"不 完全相同"呢！ 211與112，百位數與個位數至少差2嗎？ 3222與2223，千位數與個位數至少差3嗎？百位數與十位數至少差1嗎？ 2009-09-16 02:02:12 補充： 2111-1112=999不會是6174 怎麼不會是呢？ 2111-1112=0999 9990-0999=8991 9981-1899=8082 8820-0288=8532 8532-2358=6174 第一與第三個遊戲都只有規定數字"不完全相同"，並沒有說"兩兩相異"， 而事實上它們的確成立，這遊戲已經很古老了....... 題目是能成立，只是版主沒把"補零"的規則寫出來而已。 2009-09-16 02:02:31 補充： 若不"補零"，就算一開始數字兩兩相異，也可能遊戲被迫中斷， 一樣不會成立，您有考慮過這點嗎？ 8421-1248=7173 7731-1377=6354 6543-3456=3087 8730-????
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