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奧林匹克數學5題好題，請點圖放大喔^^
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圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AD01564251/o/101012260392413869291980.jpg 2010年兩岸兒童數學邀請賽5題好題，請點圖放大喔^^ 更新: 請點上圖放大喔^^ 更新 2: - x + 120(x - 1) + 357 =< 0 x =< - 237/119 = - 1.99... ; - x + 120x + 357 >= 0 x >= - 3 這裡不懂^^ x為何忽正忽負，請您詳加說明^^感恩感恩 更新 3: |x| + 120[x] + 357 = 0 , x 明顯為負整數 ; - x + 120(x - 1) + 357 =< 0 請問為何120[x] =120(x - 1) 更新 4: 請問為何7(x + y) = 15(y - x)，請您詳答喔，感恩感恩^^
最佳解答:
7)30(10/70 + 10/80) < P < 30(5/60 + 5/65 + 5/70 + 5/75)30(1/7 + 1/8) < P < 30(1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15)8 + 1/28 < P < (2 + 1/2) + (2 + 4/13) + (2 + 1/7) + 28 + 1/28 < P < 8 + 1/2 + 4/13 + 1/78 + 1/28 < P < 8 + 1/2 + 4/13 + 1/7 < 8 + 1/2 + 1/3 + 1/6 = 9故 P 的整數部分 = 8 9)|x| + 3[x] + 9[x] + 27[x] + 81[x] + 357 = 0|x| + 120[x] + 357 = 0 , x 明顯為負整數 ;- x + 120(x - 1) + 357 =< 0 x =< - 237/119 = - 1.99... ;- x + 120x + 357 >= 0 x >= - 3故 - 3 =< x =< - 1.99...x = - 3 或 x = - 2(不合) ,當 x = - 3 , 3 + 12(-3) + 357 = 0 故 x = - 3 11)A 及 A3 + 3 是質數 , 故 A 是偶質數 = 2 , A^5 + 5 = 2^5 + 5 = 37 是質數。 12)f(1/99) + ... + f(98/99) + f(99/99) + ... + f(197/99) + f(198/99) + ... + f(296/99) + f(297/99) + ... + f(395/99) + .................................. + f(891/99) + ... + f(989/99) + f(990)/99 = 1/99 + ... + 98/99 + 99/99 + ... + 197/99 - 99*1 + 198/99 + ... + 296/99 - 99*2 + 297/99 + ... + 395/99 - 99*3 + ......................................... + 891/99 + ... + 989/99 - 99*9 + 990/99 - 10= 1/99 + ... + 990/99 - 99(1 + 2 + 3 + ... + 9) - 10= (990*991/2) / 99 - 99(9*10/2) - 10= 490 14)設俐靜速率為 x , 公車速率為 y ,7(x + y) = 15(y - x)7x + 7y = 15y - 15x22x = 8yx/y = 4/11公車每隔 7(x + y) / y= 7(x/y + 1)= 7(4/11 + 1)= 105/11 分開一班車。 2010-12-26 18:14:47 補充： 9) |x| + 3[x] + 9[x] + 27[x] + 81[x] + 357 = 0 |x| + 120[x] + 357 = 0 , x 明顯為負整數 ; - x + 120x + 357 = 0 x = - 3 2010-12-26 20:19:01 補充： |x| + 120[x] + 357 = 0 因 [x] >= x - 1 , (例如 [- 2.5] = [- 3 + 0.5] = - 3 >= - 2.5 - 1 = - 3.5 ) , 所以 |x| + 120(x - 1) + 357 =< |x| + 120[x] + 357 = 0 即 - x + 120(x - 1) + 357 =< 0 不是120[x] =120(x - 1),而是120[x] >= 120(x - 1). 2010-12-26 20:21:59 補充： - x + 120x + 357 >= 0 是因為 120x > 120[x] 以上討論不必要,我已在補充簡化了。 2010-12-26 20:23:44 補充： 7(x + y) = 15(y - x) = 相連兩班公車的距離。 2010-12-26 20:26:17 補充： 迎面相對速度 = x + y 公車從後趕上相對速度 = y - x 2010-12-26 20:30:28 補充： |x| + 120[x] + 357 = 0 , x 明顯為負整數 ; 當 x 為負整數 , |x| = - x , [x] = x , 故 - x + 120x + 357 = 0 直接解出 x = - 3 就是,不必討論。
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圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AD01564251/o/101012260392413869291980.jpg 2010年兩岸兒童數學邀請賽5題好題，請點圖放大喔^^ 更新: 請點上圖放大喔^^ 更新 2: - x + 120(x - 1) + 357 =< 0 x =< - 237/119 = - 1.99... ; - x + 120x + 357 >= 0 x >= - 3 這裡不懂^^ x為何忽正忽負，請您詳加說明^^感恩感恩 更新 3: |x| + 120[x] + 357 = 0 , x 明顯為負整數 ; - x + 120(x - 1) + 357 =< 0 請問為何120[x] =120(x - 1) 更新 4: 請問為何7(x + y) = 15(y - x)，請您詳答喔，感恩感恩^^
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7)30(10/70 + 10/80) < P < 30(5/60 + 5/65 + 5/70 + 5/75)30(1/7 + 1/8) < P < 30(1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15)8 + 1/28 < P < (2 + 1/2) + (2 + 4/13) + (2 + 1/7) + 28 + 1/28 < P < 8 + 1/2 + 4/13 + 1/78 + 1/28 < P < 8 + 1/2 + 4/13 + 1/7 < 8 + 1/2 + 1/3 + 1/6 = 9故 P 的整數部分 = 8 9)|x| + 3[x] + 9[x] + 27[x] + 81[x] + 357 = 0|x| + 120[x] + 357 = 0 , x 明顯為負整數 ;- x + 120(x - 1) + 357 =< 0 x =< - 237/119 = - 1.99... ;- x + 120x + 357 >= 0 x >= - 3故 - 3 =< x =< - 1.99...x = - 3 或 x = - 2(不合) ,當 x = - 3 , 3 + 12(-3) + 357 = 0 故 x = - 3 11)A 及 A3 + 3 是質數 , 故 A 是偶質數 = 2 , A^5 + 5 = 2^5 + 5 = 37 是質數。 12)f(1/99) + ... + f(98/99) + f(99/99) + ... + f(197/99) + f(198/99) + ... + f(296/99) + f(297/99) + ... + f(395/99) + .................................. + f(891/99) + ... + f(989/99) + f(990)/99 = 1/99 + ... + 98/99 + 99/99 + ... + 197/99 - 99*1 + 198/99 + ... + 296/99 - 99*2 + 297/99 + ... + 395/99 - 99*3 + ......................................... + 891/99 + ... + 989/99 - 99*9 + 990/99 - 10= 1/99 + ... + 990/99 - 99(1 + 2 + 3 + ... + 9) - 10= (990*991/2) / 99 - 99(9*10/2) - 10= 490 14)設俐靜速率為 x , 公車速率為 y ,7(x + y) = 15(y - x)7x + 7y = 15y - 15x22x = 8yx/y = 4/11公車每隔 7(x + y) / y= 7(x/y + 1)= 7(4/11 + 1)= 105/11 分開一班車。 2010-12-26 18:14:47 補充： 9) |x| + 3[x] + 9[x] + 27[x] + 81[x] + 357 = 0 |x| + 120[x] + 357 = 0 , x 明顯為負整數 ; - x + 120x + 357 = 0 x = - 3 2010-12-26 20:19:01 補充： |x| + 120[x] + 357 = 0 因 [x] >= x - 1 , (例如 [- 2.5] = [- 3 + 0.5] = - 3 >= - 2.5 - 1 = - 3.5 ) , 所以 |x| + 120(x - 1) + 357 =< |x| + 120[x] + 357 = 0 即 - x + 120(x - 1) + 357 =< 0 不是120[x] =120(x - 1),而是120[x] >= 120(x - 1). 2010-12-26 20:21:59 補充： - x + 120x + 357 >= 0 是因為 120x > 120[x] 以上討論不必要,我已在補充簡化了。 2010-12-26 20:23:44 補充： 7(x + y) = 15(y - x) = 相連兩班公車的距離。 2010-12-26 20:26:17 補充： 迎面相對速度 = x + y 公車從後趕上相對速度 = y - x 2010-12-26 20:30:28 補充： |x| + 120[x] + 357 = 0 , x 明顯為負整數 ; 當 x 為負整數 , |x| = - x , [x] = x , 故 - x + 120x + 357 = 0 直接解出 x = - 3 就是,不必討論。
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